On définit une application f de N² dans N par f(a,b) = (a+b)*(a+b+1)/2+a. Montrer qu'elle est bijective, et définir sa réciproque (et en particulier l'image réciproque de 2010).

ABCD est un parallélogramme. Les bissectrices des angles A et B se coupent en I. L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique permet de faire remarquer que le point I peut être extérieur ou intérieur au parallélogramme. Comment caractériser les parallélogrammes ABCD pour lesquels le point I est un point du segment [DC] ?

Pour le numéro 100 du « Petit Vert », l'APMEP de Lorraine a, comme vous le savez tous, décidé de sortir un album de 100 mathématiciens à collectionner. Les autocollants des mathématiciens sont vendus par pochettes de 5 (tous les autocollants d'une pochette étant différents). Ecrire un algorithme permettant d'estimer le nombre moyen de pochettes nécessaires pour compléter l'album.

Un joueur de foot se dirige, balle au pied, vers le but adverse. Quelle est la trajectoire qui lui assure à tout instant le plus grand angle de tir possible ?

On considère un jeu de 52 cartes. On enlève les quatre rois, on mélange. On tire ensuite, successivement, les huit premières cartes du paquet, en énumérant « un, deux, trois… ». On gagne si l’une des cartes tirées a la valeur annoncée (ex : si la 3^ème carte est un 3).

Le jeu est-il équilibré (autant de chances de gagner que de perdre) ?